Hallo Lena!
Ich halte ebenfalls nicht allzuviel von dem von dir angegebenen Filter.
Das Trinkwasser - welches in den Wasserwerken produziert wird (nicht privat aus eigenen Brunnen) - ist in weit über 90% eigentlich sehr gut. Auch ist Trinkwasser das in D am besten kontrollierte Lebensmittel!
Die meisten Beeinträchtigungen dieses Produkts entstehen erst nach dem ÜP (Übergabepunkt = Wasseruhr) des Versorgers. Will sagen, das da u.U. schadhafte Leitungen eher die Ursache sein können, als wie das Wasser wirklich schon vor dem ÜP "schlecht" sein sollte!
Defekte Leitungen sind auch möglich in neueren Gebäuden bzw. Installationen (<20 J.).

Chlor wird übrigens zur Desinfektion nur noch sehr selten (im Notfall, bzw. in bestimmten Rhythmen zu Probelaufzwecken) verwandt. Zumeist ist es Chlordioxid, oder Natriumhypochlorid, zur Entsäuerung dann auch vielfach (sofern nötig) Sauerstoff.

Wenn du doch einen Verdacht hast, dann frag doch mal bei den zuständigen Stadtwerken bzw. dem Versorger an. Vielfach sind auch die Wasserwerte online abrufbar, kannst sie dann ja auch mal mit denen anderer Städte / Regionen vergleichen. Auch werden - auf Anfrage - Besichtigungen der Wassergewinnungsanlagen angeboten.
Andererseits könnte das auch deinen Vermieter interessieren.

Vielfach hilft auch schon ein Ablaufen lassen lassen des stehenden Wassers in der Leitung am Morgen, bzw. nach längerem Nichtgebrauch, gerade in Häusern die weiter weg von der Hauptleitung (in der Strasse) entfernt sind, kann das Wasser relativ schnell schlecht schmecken.
Auch eine mögliche Ursache sind vielfach die Perlatoren (das sind die Dinger mit dem Sieb dran, aus denen am Hahn das Wasser rauskommt), einfach mal demontieren, reinigen (Entkalker)...

Hab übrigens beruflich damit zu tun, auch wenn es ob meinem Berufsbild nicht so aussieht...

Bei der Verwendung der Filter - wenn du ihn wirklich verwenden willst - denk dran, je "schmutziger" das Wasser ist, desto schneller ist auch der Filter verstopft, auch kann es auf Dauer zu einer Verkeimung des Filters führen, was dann noch grössere Folgen haben kann....

Weiterhelfen könnte dir da auch noch ein anderer "richtiger" Fachmann, aus dem Fachbereich für "Gas, Wasser, Sch...." - such mal in den Profilen der Forumsmitglieder via der Benutzerlistensuchfunktion!